Kučera sa vydal na profesionálnu tenisovú dráhu v roku 1992. V júni 1993
absolvoval na Roland Garros grandslamovú premiéru v hlavnej súťaži. V
júni 1995 získal na tráve v holandskom Rosmalene prvú trofej na mužskom
profesionálnom okruhu, vo finále zdolal Švéda Andersa Järryda v dvoch
tajbrejkoch. V lete 1996 štartoval premiérovo na OH. V Atlante prehral s
domácim Američanom Andrem Agassim, ktorý napokon získal zlatú medailu. V
októbri 1997 vybojoval v Ostrave druhý titul z podujatí ATP.
Rok 1998 bol pre Kučeru prelomový. Začal ho po boku Kariny Habšudovej
víťazstvom na Hopmanovom pohári miešaných družstiev v austrálskom
Perthe. Na Australian Open prišiel ovenčený turnajovým triumfom zo
Sydney, kde vo finále zvíťazil nad Britom Timom Henmanom. V Melbourne mu
žreb v 1. kole prisúdil Španiela Sergiho Brugueru. Kučera prešiel cez
dvojnásobného víťaza Roland Garros a pod vedením trénera Miloslava
Mečířa odštartoval spanilú jazdu. Vo štvrťfinále vyradil obhajcu titulu
Američana Petea Samprasa a získal najcennejší skalp v kariére. V
semifinále podľahol neskoršiemu víťazovi Čechovi Petrovi Kordovi.
Kučerovi sa darilo aj v ďalšom priebehu sezóny. V auguste vyhral turnaj v
New Haven, ktorý bol generálkou na US Open a vo Flushing Meadows sa
dostal do štvrťfinále. Štrnásteho septembra figuroval vo svetovom
rebríčku ATP na šiestom mieste, čo bolo jeho kariérové maximum. V roku
1998 dosiahol Kučera celkovo 53 víťazstiev a zakončil ho ako svetová
osmička. V októbri 1999 pridal na koberci v Bazileji do zbierky piaty
titul na ATP Tour. V roku 2000 vyhral spoločne s Dominikom Hrbatým a
Jánom Krošlákom Svetový pohár družstiev v Düsseldorfe. Na OH 2000 v
Sydney postúpil s Hrbatým do štvrťfinále štvorhry.
Jeho ďalšiu kariéru poznačili zranenia zápästia a ramena. V roku 2003
získal v Kodani šiesty singlový titul na okruhu ATP po finálovom triumfe
nad Belgičanom Olivierom Rochusom a vrátil sa do najlepšej svetovej
päťdesiatky. Na OH 2004 v Aténach prehral v 1. kole s Rusom Maratom
Safinom. Kariéru ukončil v decembri 2005 po finále Davisovho pohára, v
ktorom Slovensko prehralo v bratislavskom NTC s Chorvátskom 2:3. V
auguste 2006 mu prezident Ivan Gašparovič udelil štátne vyznamenanie -
Rad Ľudovíta Štúra II. triedy - za mimoriadne významné zásluhy v oblasti
rozvoja športu.
Po skončení kariéry Kučera odovzdával svoje skúsenosti mladým hráčom. V
marci 2020 sa stal poslancom Národnej rady Slovenskej republiky a v
júni ho vymenovali za splnomocnenca vlády SR pre mládež a šport. V
súčasnosti pôsobí ako tréner slovenského daviscupového reprezentanta
Lukáša Kleina, ktorého chce dostať do elitnej svetovej stovky.